クリプキクローネ日記帳

ある種の音楽と数学とランニングはミニマルなところが似ていると思う。

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

続・RunKeeperの誤差最小化問題

ここ数日やたらと盛り上がっている(自分の中で)問題の続編です。
なんのことだか分からない方は前回からどうぞ。
むしろ前回だけでやめておいた方がいいと思います。


あの次の日も夜ずっと問題の続きを考えていたら、その次の日に熱を出しました。
知恵熱です。訳の分からないことを考えるもんじゃないなと思いました。
土日に寝込んで、だいぶよくなりました。

前回の問題はもう少しスマートに定義してあげる必要があると思いますが、
やりすぎると味気なくなるので多少ふわふわしたままにしておきます。

解答の方もどこまで与えればいいのかはっきりしていませんが、
まずは、前回の例(コースの長さ6km)の条件で最適な形を探します。
とはいってもそれすら実はかなり難しいと思うので、
今回は正六角形の場合の計算をしました。

以下の図で、左が最良ケース(誤差ゼロ)、右が最悪ケース(誤差最大)です。
20140124_hexagon.jpg

前回と同様に、黒線が実際に走ったコース、赤線がGPSが取得したデータから作ったコースです。
そして、最悪ケースの上の部分を拡大してみます。

20140124_hex_zoom.jpg

拡大図において、正六角形の内角が120°なので、縦に垂線をおろすと直角三角形が2つになります。
三平方の定理より、辺の比が1:2:√3なので、赤線の半分の長さが√3/4とわかります。
なので拡大図の赤線は√3/2であるとわかります。

赤線も正六角形なので、赤線の全長は √3/2 × 6 = 3√3 です。
したがって、最悪ケースの誤差は、
6 - 3√3 = 0.80 です。

まずまずです。

円の場合よりは悪いけど、往復コースの最悪ケースよりはいい値です。

じゃあやっぱり円が一番いいのかな、という気持ちになってきますが、
正六角形は「運が良ければ誤差ゼロ」という圧倒的な強みがあるので、
やっぱり運がいいときも悪いときも含めた「期待値」を求める必要があります。

高校数学で習う期待値は「サイコロの目(1~6)」や「トランプの枚数(1~52枚)」のように、
有限の数パターンのみを対象としています。
ですが今回は、最良ケースと最悪ケースの間に無数の点があって、
無限のパターンを対象とした期待値を出さなくてはいけないので大変でした。
そういう場合は積分をガリガリ使います。サイコロの目を足し合わせるのと一緒です。
一応大学で単位を取ったはずなんですが、ほとんど覚えてなかったので、
いろんな確率のウェブサイトで勉強しながら解きました。
得体の知れないモチベーションで解きました。

というわけで計算したんですが、
積分がたくさん出てくるので、ブログ上で計算過程を示すことができません。
なので、TeXにしました。
TeX はざっくり言うと、コマンドを書いて変換すると綺麗な数式を作ってくれるソフトです。すごく便利です。
TeX を使うのは修論以来で、しかも当時とPCが違うのでインストールからやりました。
そもそもインストール方法から分からなかったので、インストール方法をウェブサイトで調べつつ、
インストールを完遂し、その上で数式をしっかり書き上げてPDFにしました。
得体の知れないモチベーションでPDFにしました。
モチベーションは凶器です。


というわけで、計算ファイルを貼り付けます。
gps_problem1.jpg

変なとこあったら教えてください。
昔からとにかく計算ミスの多い人間なので、合っているかどうか怪しいです。

一応、誤差の期待値は、3-(9log3)/4 = 0.53 となりました。

円コースの場合の誤差の期待値が 0.27
往復コースの場合の誤差の期待値が 1.00
なので、良くも悪くもない、といったところです。
円最強説がますます濃厚になってきました。
進めれば進めるほど円という図形の力強さが浮き彫りになるこの展開、たまりません。


ただ、まだ3パターンしか調べていないので、本当に円が一番いいかどうかはわかりません。
それを示すにはもっと一般的な手法が必要です。
そして「6kmの場合に円が一番いい」ということを示すことができれば、
6km以外の場合にも素直に拡張できるはずです。
そしてついでに走るペースを一様分布とか正規分布に従わせるくらいのお茶目なこともできるはずです。
次が最大の山場です。
いろいろ考えてみましたが現状手がかりなしです。

ですが、おそらくこんな愚問は世の中の誰かが100年以上前にとっくに解いていて、
ただそれが大して面白くないか、あるいはあまりに一般的な表現で書かれているので、
具体的な言葉でざっとググったぐらいでは出てこないだけなんだと思います。
こういう時言葉というのはなんて不便なんだと思います。
もっと抽象概念で言葉にせずに検索できるようになればいいのにと思います。

とりとめがなくなってきたので終わります。

皆さんが休日にランニングに出かけたときに、
ふとGPSの誤差が気になったら、コースの形を気にしてみてください。
それが円形で、かつ道幅が無視できるほど狭ければ比較的無駄の少ないコースだと思います。
ですが危ないのでもっと道幅の広いコースに切り替えましょう。


【追記(2014/1/31)】
あのあと、実は上の例はもっと簡単に出せるんじゃないかと思い、
やってみたらやっぱりそうでした。
期待値だということで無理に期待値の公式に当てはめましたが、
そんなことしなくてもM(t)を普通に0から1まで積分して6倍すれば答えが出ます。
tの範囲がちょうど0~1で、且つ一様分布なので、そのままいけるんですね。
PDFは恥ずかしいですがそのままにしておきます。
結果として2通りの計算ができて答えが一致したのでよかったです。
  1. 2014/01/28(火) 23:05:07|
  2. 数学・論理
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<Ryan Teague - Field Drawings | ホーム | RunKeeperの誤差最小化問題>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://myumbrella.blog42.fc2.com/tb.php/295-70723a5d
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。