クリプキクローネ日記帳

ある種の音楽と数学とランニングはミニマルなところが似ていると思う。

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

確率と確率過程 - 具体例で学ぶ確率論の考え方 - [ 柳瀬眞一郎(著)]

確率は割と序盤から言葉や記号がたくさん出てくるので難しいです。
しっかり読めなかったので感想を書くべきじゃないんですが、読んだ部分をゼロにしないためにも。



確率の基礎のところでルベーグ・スティルチェス積分が出てきて既についていけなくなりました。

期待値E[X]は普通の積分で書くと
インテグラルxf(x)dx
ですが、このへんてこな積分では
インテグラルxdF(x)
なんですね。
これによりF(x)に不連続点があっても定義できるみたいですが、不勉強のため分かりません。
さらに、E[X]ではなく、E[g(X)]が期待値の正しい姿であり、
普段よく見るE[X]はg(X)=Xという特殊な場合のようです。

そして、特性関数
Φ(k) = E[e^(ikX)]
はレヴィの公式によって分布関数と一対一に対応していて便利なようです。
E[X]は1つの値になっていろいろな情報が消えてしまうけど、
Φ(k)はE[]の中身がフーリエ変換の基底みたいになってるから元の情報をすべて残しますよ、みたいな気分なんでしょうか。
さっぱり分かっていない感。

n次モーメントMn = E[X^n] とn次中心モーメントμn = E[(X-bar(X)^n] は
M1が期待値でμ2が分散だということしか分からず。
だけどなぜか歪度 S = μ^3/σ^3 によって平均値からみてプラスマイナスどちら側に裾野が広がっているかわかったり、
尖度(または扁平度) K = μ^4/σ^4 によって平均値の周囲に確率変数の分布がどこまで密集しているかが分かったりする。
うーん、なんとなくそんな気はするけど分からず。
正規分布ではS=0, K=3。なので、Kから3を引いた値を超過と呼ぶ。

負でない整数値をとる確率変数には、母関数
G(s) = sigma(p_k s^k)  (|s| <= 1)
が便利。

関係ないけど、正規分布の密度関数のグラフで縦だけ対数をとると放物線になるのに感激。
当たり前といえば当たり前なのに。

独立な変数の和が同じ種類の分布となるときに再生的であるという。
二項分布、ポアソン分布、正規分布は再生的。

一方、特性関数Φ(k)と任意のa,b>0に対して、c>0とdが存在して、
Φ(ak)Φ(bk) = Φ(ck)e^(idk)
のとき、安定分布という。
2つの波を掛け合わせたら別のある周期の波を位相ずらしたものと一致する、ということか。
確率的なイメージが皆無。
正規分布、コーシー分布は安定分布だが、ポアソン分布は安定分布でない。

大数の法則には強と弱とあるけど、とにかくn個の確率変数X1, ..., Xn の算術平均
Sn = (X1 + ... + Xn)/n
の極限は期待値の和
μn = sigma(E[Xi]) = E[Sn]
に限りなく近づく、ということ。

一方の中心極限定理は
Qn = (X1+...+Xn)/sqrt(Vn) - (μ1+...+μn)/sqrt(Vn)
がn->∞でN(0,1)に近づく、ということ。

大数の法則は必ずしも独立な変数ではなくてもよかったり、
中心極限定理は必ずしも同じ分布でなくてもよかったりするので、
使える条件からしてそもそも難しい。

そしてマルコフ連鎖。
ランダムウォークの破産ゲームの話は素人にも分かりやすかった。
AからBにいく経路のうち、x軸と共有点を持つ経路の数を数える「鏡像の原理」おもしろい。
コイン投げをたくさんすると、勝ってる時間帯と負けてる時間帯が半々になる確率は一番低くて、
常に勝ちと常に負けの両端に向かって確率が上がるような形状になる。
分布関数の形から第一アークサイン公式と呼ばれる。
大貧民やると負け続けるのはこれか…。

シンプルなランダムウォークでは勝ちにも負けにも上限はないけど、
一定の金額に端点を作ると、吸収壁、反射壁、周期軌道といろいろ定義できて、それぞれおもしろそう。
負けつづけたゲームが周期軌道だったら最高。

状態iからnステップ目に初めて状態jに到達する確率 fij(n) は重要な気配。
いつかは必ずもとの状態iに戻るとき、状態iは再帰的であるといい、
戻らない確率がゼロではないときに状態iは一時的であるという。
さらに、状態iが再帰的である場合に平均再帰時間μが有限の場合にiは正状態、
μが無限大の場合にiはゼロ状態であるという。
この辺の性質を一通り分かっていれば状態遷移図とかに有用そう。

加法過程以降は時間切れによりほとんど読めず。
ブラウン運動のウイーナー過程とか、たまに発生するイベントのポアソン過程とか、
おもしろいはずなので残念。

またちゃんと読みなおそう。
  1. 2017/04/18(火) 00:06:45|
  2. | トラックバック:0
  3. | コメント:0
<<言語が違えば、世界も違って見えるわけ [ガイ・ドイッチャー(著) 椋田直子(訳)] | ホーム | コンピュータアーキテクチャ定量的アプローチ第5版 [ジョン・L・ヘネシー, デイビッド・A・パターソン(著), 中條拓伯、他(監訳)]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://myumbrella.blog42.fc2.com/tb.php/366-b1357108
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。